La espalda de los dinosaurios

¡¡Hola de nuevo!! Hoy os voy a explicar la relación que había entre la espalda de los dinosaurios y las llamadas curvas catenarias, así que... procedamos:

 

¿Qué es una curva catenaria?

 

Si os fijáis en los cables principales de un puente colgante, podréis observar que trazan una curva muy parecida a la parábola; pues bien, esa es la llamada curva catenaria. En las líneas de ferrocarril, los cables colgantes del tendido eléctrico entre postes adoptan esa misma forma y los ferroviarios llaman a ese cableado la catenaria.

Es la curva natural que sigue una cuerda que cuelga entre dos puntos que no esté sometida a otra fuerza que su propio peso o un peso uniforme.

La ecuación de la catenaria es:

siendo cosh (x) la función coseno hiperbólico, definida así:

 

      


Si se desarrolla en serie de Taylor la función cosh(x), se obtiene:
 

     

Esto corresponde a la ecuación de una parábola más un infinitésimo de 4º orden. Es por este motivo que las gráficas de la catenaria y de la parábola son tan parecidas en el entorno de cero.

En muchos otros puentes los tableros están sujetos bajo arcos de aparentes parábolas. Esto es así porque la curva catenaria permite soportar una carga horizontal uniforme de tal manera que haya una tensión uniforme. De esta manera se evitan esfuerzos tangenciales por tracción o por compresión.

 

 

¿Qué tiene que ver esto con los dinosaurios?

 

 Pues bien, si eres observador, habrás podido apreciar que a los dinosaurios se les ilustrar con la espalda arqueada, aunque en unas especies se aprecia más que en otras.

Soportaban su enorme peso con una espina dorsal que seguía la misma curva, la curva catenaria, la única capaz de aguantar tales cuerpos, gracias al principio mencionado anteriormente.

 

Así que ya sabéis, cuando estéis viendo alguna película y salga un dinosaurio... ya conocéis qué relación tiene la forma de su cuerpo con las matemáticas.

 

... Espero que la entrada os haya gustado tanto como a mi, porque la verdad es que a mí me ha parecido muy interesante y curioso este dato. 

¡¡Adiós!!  J

Las plantas carnívoras y las matemáticas

¡¡Bienvenidos de nuevo!! El tema del que os voy a hablar hoy es la relación que tienen las matemáticas y las plantas carnívoras, que es bastante interesante, así que... ¡comencemos!

La planta carnívora conocida como venus atrapamoscas sabe contar, y aprovecha esta capacidad para decidir cuándo atrapar e ingerir a sus víctimas.

 

Cuando escasean los nutrientes del suelo, estas plantas carnívoras, al igual que las demás, necesitan incorporar insectos o arañas en sus dietas. Sin embargo, cerrar el órgano de captura alrededor de sus presas conlleva un gasto de energía muy alto y, por eso, la planta tiene que decidir cuidadosamente si le merece la pena o no hacerlo. Es justamente aquí donde intervienen las matemáticas.

 

 

 

¿Cómo llevan esto a cabo?

Pues bien, para detectar a sus presas cuentan con la ayuda de pelos sensores en la superficie de sus hojas de captura. Según los investigadores que llevaron a cabo el estudio, la venus atrapamoscas es capaz de contar cuántas veces estos pelos han sido tocados por el insecto para decidir si merece la pena o  no atraparlo y digerirlo. Podría decirse que se basan en la probabilidad.

 

Por ejemplo,un primer contacto con el pelo sensor no es suficiente para que cierren la trampa (ya que podría ser una falsa alarma), pero sirve para ponerse alerta. Sin embargo, un segundo contacto en menos de 30 segundos bastará para que el órgano de captura se cierre sobre su presa.

 

 

 

 

La paradoja de los números interesantes

¡¡ Bienvenidos a tod@s de nuevo !! Hoy os traigo una paradoja matemática, así que… comencemos J

Mitad matemática, mitad humor, la paradoja de los números interesantes habla sobre el supuesto y subjetivo carácter de interesante de los números naturales. No de algunos, sino de todos.  

Números "aburridos" e "interesantes" son conceptos usados por los matemáticos  para denominar a los números que tienen ciertas propiedades que podrían ser o no consideradas curiosas.

Y si alguien está pensando en que un número determinado puede no ser interesante, quien sostenga que los números naturales son siempre interesantes dirá que no, que ese número seleccionado por quien quiere contradecirlo es interesante porque, por ejemplo, es el número que corresponde al año en el que se sucedió un hecho o que se le puede obtener mediante la realización de operaciones ``curiosas´´’.

La demostración real de esta afirmación se da a través de la división de los números naturales y aburridos. De esta forma, siempre habrá un número que será el más pequeño de los aburridos, por lo tanto pasará a ser interesante y por lo tanto habrá que moverlo de grupo.

Si esto se sigue dando, nos encontraremos con que el grupo de los aburridos terminará vacío, dando a entender que todos los números son interesantes.

 Lo paradójico es que esta ``reducción al absurdo´´ de entidades objetivas tiene un componente subjetivo muy fuerte y ambiguo, el hecho mismo de ser interesantes.

¿Queréis ver algunos ejemplos? Pues aquí tenéis algunos ;)

->El número 142. 857 : si lo multiplicamos por 2, 3, 4, 5... obtenemos  un número que contiene las mismas cifras que éste (pero en otro orden):

142857 x 2 = 285714

142857 x 3 = 428571

142857 x 4 = 571428 y etc.

-> Y aquí tenéis otro ejemplo gráfico

 

Curioso, ¿verdad?  ¡Pues hasta la siguiente entrada!

 

 

El número e...y la broma matemática de Google

¡¡Bienvenidos a tod@s de nuevo!! Hoy os traigo una interesante noticia que está relacionada con el número e, así que… procedamos J

El número e

La constante matemática ''e'' es uno de los más importantes números reales que aparece en diversas áreas de la matemática. Es un número irracional que equivale aproximadamente a 2.71828…. Además, es  la base de los logaritmos neperianos y  aparice en el estudio del interés compuesto.

El número e, conocido en ocasiones, como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

Juega un rol importante en el cálculo y en el análisis matemático, en la definición de la función más importante de la matemática, la función exponencial.

* Así como ∏ es muy relevante en la geometría y el número i en el análisis complejo y del álgebra.

Aunque las primeras referencias a esta constante fueron publicadas en 1618 en la tabla en un apéndice de un trabajo sobre logaritmos de John Napier, fue Leonard Euler quien estudió la sucesión (1 + 1/n) n , y el cual llamó al límite de esta sucesión número e , inicial de su apellido.

Google y su curioso acertijo acerca del Número e  ;)

En 2004 Google, la empresa creadora del motor de búsqueda más exitoso en Internet, anunció su voluntad de recaudar fondos para una futura expansión. En lugar de dar una cifra redondeada de 1.000 millones o 1.500 millones de dólares, anunciaron que tenían la intención de conseguir 2.718.281.828 dólares.

¿Por qué un número tan exacto? Pues resulta que era una broma matemática, ya que ese es el número ''e'' del que os he estado hablando hoy.

Google también colocó un misterioso mensaje en las vallas publicitarias de todo Estados Unidos. Decía:

(primer primo de 10 dígitos consecutivos del desarrollo de e). com

Las personas que pudieron resolver el rompecabezas y visitaron el sitio resultante en Internet descubrieron otro rompecabezas aún más difícil.

Finalmente, si resolvían todos los acertijos…¡ el resultado era una página de Internet con una oferta de trabajo en la que se invitaba a las mentes más brillantes a incorporarse a Google !

Curioso, ¿verdad? Pues esta ha sido la entrada de hoy, ¡¡hasta luego!! J

 

Las matemáticas te pueden salvar la vida ;)

¡Hola a tod@s de nuevo! Hoy os traigo la historia de cómo las matemáticas (en concreto, el Polinomio de Taylor) salvaron la vida de Igor Tamm.

Pero… ¿ Qué es un polinomio de Taylor?

Un polinomio de Taylor es una aproximación a una función dada, mediante una función polinómica con el grado que se desee. Se conoce un resto que nos indica cuál es el grado de aproximación conseguido.

La ventaja de los polinomios de Taylor es que muchas veces (casi todas) es más fácil trabajar con un polinomio que con la función dada (pongamos una logarítmica). Los desarrollos de Taylor se suelen estudiar hoy en todas las carreras donde haya asignaturas de Matemáticas, normalmente en primer o segundo curso.

 

Y ahora que ya sabéis lo que es, llega el momento de contar cómo le salvó la vida dicho polinomio J

Ígor Yevguénievich Tamm fue un físico ruso y Premio Nobel de Física en 1958 al cual le ocurrió lo siguiente:

Había estallado la Revolución de Octubre (o Revolución Bolchevique ) el 25 de octubre de 1917 y lo detuvieron unos milicianos cerca de Odessa (Ucrania), donde se hallaba buscando comida. Le tomaron por un agitador antiucraniano, pero decidieron no matarlo y llevarlo ante su jefe. Éste le preguntó a qué se dedicaba y Tamm respondió que era matemático.

El jefe de los milicianos, para ver si mentía o no, le dijo que lo demostrara:

“Calcúlame el error cometido al aproximar una función arbitraria por un polinomio de Taylor de n términos. Si lo haces bien, te dejo ir. Si no lo sabes hacer, te fusilamos”.

Tamm, tembloroso, dibujó con su dedo sobre la arena el desarrollo de la fórmula. Su vida dependía de ello. Al acabar, el jefe guerrillero le echó un vistazo y ordenó que lo soltaran.

… Fue años después de lo sucedido, siendo ya Premio Nobel, cuando Tamm contó en persona esta historia. Nunca llegó a averiguar quién era aquel jefe de guerrilleros con esos conocimientos matemáticos.

¡Qué útiles son las matemáticas y que de usos tienen! J

¿Qué os ha parecido más curioso:  el hecho de que las matemáticas le salvaran la vida, o el que un jefe guerrillero tuviera tales conocimientos matemáticos?...

 ¡Adiós a tod@s!

 

 

El inventor del ajedrez...y su recompensa

El ajedrez se inventó hace mucho tiempo, y hoy os contaré la peculiar historia que acompaña a este invento J

El rey de Persia, fascinado por el juego del ajedrez, quiso conocer y premiar al inventor (un matemático Indio que se cree que se llamaba Sissa).

El rey se comprometió a ofrecerle la recompensa que él mismo decidiese por haber hecho tal creación; el hombre, que era muy sabio, le dijo lo siguiente:

    `` Me conformo con un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta...´´, y así fue doblando la cantidad hasta la casilla 64 del tablero de ajedrez.

Esto, que al principio podría parecer humilde, resulta que no lo era: para satisfacer al inventor ofreciéndole ese premio, harían falta... ¡ 18 446 744 073 709 551 615 granos de trigo!

…¡Menuda cifra! Además, si tenemos en cuenta que en cada kilogramo de trigo caben aproximadamente unos 28.220 granos, el matemático tendría que recibir 653.676.260.585 toneladas. Esa cantidad ocuparía un depósito en forma de cubo de algo más de 11'5 kilómetros de lado.

  

¡ Hasta el infinito... y más allá !

¡Bienvenidos a tod@s de nuevo! Hoy os traigo una clásica y entretenida paradoja sobre el concepto de infinito, pero antes de eso, os voy a hablar un poco sobre este concepto :

En ocasiones, nos podemos encontrar con números de gran tamaño; uno de estos números es el infinito.

El concepto de infinito (∞) hace referencia a una cantidad sin límite o final, contrapuesto al concepto de finitud.

El símbolo ∞ con el cual se expresa el infinito fue introducido a la notación matemática por el matemático inglés John Wallis (1616-1703) en una de sus obras más importantes: Aritmética Infinitorum ,en el año 1656.

…Y ahora llega el turno de la paradoja, construcción abstracta, inventada por el matemático alemán David Hilbert en el cual habla de un hotel infinito:

``Llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraban de que todos tuvieran habitación. El hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1, y así sucesivamente cada vez que llegasen más clientes.

Pero…¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación?´´ Sencillamente, no hay última habitación.

 

Triángulo de Sierpinski

¡Hola a todos de nuevo! Hoy os voy a hablar también de otro fractal muy curioso y fácil de hacer:  el Triángulo de Sierpinski.

Este fractal lleva el nombre de su inventor, el matemático polaco Waclaw Sierpinski, quien introdujo este fractal en 1919.

¿Cómo se construye?

-Partamos con una iteración de n=0 de  la superficie de un triángulo equilátero de lado unidad.

-Seguidamente, con iteración n=1, tomemos los puntos medios de cada lado y construyamos a partir de ellos un triángulo equilátero invertido de lado la mitad (1/2) y lo recortamos.

-Ahora con iteración n=2 repetimos el proceso con cada uno de los tres triángulos de lado 1/2 que nos quedan.

 Así que recortamos esta vez los tres triángulos invertidos de lado ¼ (como podéis observar, cada vez los triángulos que van surgiendo se van haciendo más pequeños).

 -> Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos una figura fractal denominada triángulo de Sierpinski.

Además, este triángulo se puede descomponer en tres figuras congruentes (existe una isometría que los relaciona). Cada una de esas figuras tendrá exactamente la mitad de tamaño de la original y si doblamos el tamaño de una de las partes recuperamos el triángulo inicial.

 El triángulo de Sierpinski está formado por tres copias  autosimilares de él mismo. De ahí que digamos que es  autosimilar.  

 

 

 

 

 

 ¡Pero qué bonitos son los fractales! Espero que la entrada os haya resultado interesante, porque la verdad, a mi el tema de los fractales me parece súper interesante... Ya os pondré otro día fotos de los fractales en la naturaleza J .

 

 

Origen del uso de la Coma para separar la parte decimal de la fraccionaria

¡¡Hola a tod@s de nuevo!! Hoy os voy a hablar de quién fue el primero en utilizar la coma (,) para separar la parte decimal de la fraccionaria en los números… así que leed con atención J

El astrónomo italiano Giovanni Magini fue la primera persona en usar la coma para separar la parte decimal de la fraccionaria.

¿Pero por qué decidió utilizar la coma y no el punto, por ejemplo? He aquí la ‘historia’ :

 La invención de los logaritmos generalizó el uso de los números decimales, por lo que el escocés John Napier, inventor de los logaritmos neperianos, recomendó en 1617 el uso del punto para separar la parte decimal de la fraccionaria; el caos siguió durante todo el siglo XVIII sobre qué signo utilizar, aunque al final solo quedaron en combate el punto y la coma.

En el continente europeo el asunto se resolvió en 1698, cuando Leibnitz (pensador que hizo grandes contribuciones al mundo de las ciencias), propuso usar el punto como símbolo de multiplicación (“en lugar del signo x, que se confunde con x, la incógnita”); De este modo quedó así la coma para separar la parte decimal del número.

 En Inglaterra, sin embargo, donde se habían cerrado las puertas al alemán Leibnitz, se siguió utilizando el símbolo x para la multiplicación y el punto para separar los decimales.

En España y América también se usó  y se sigue aceptando el uso de la coma elevada.

...Pues esta ha sido la entrada de hoy, ¡espero que os haya resultado interesante!  

La curva copo de nieve de Koch

¡Hola de nuevo a tod@s! Hoy vengo a hablaros de un tema que me encanta ya que es muy interesante y curioso… ¡los fractales! Este tema abarca amplitud de conceptos, y hoy os traigo uno de ellos: La curva de copo de nieve de Koch.

El creador de esta adorable y curiosa figura fue el matemático sueco Niels Fabian Helge von Koch en 1904.

El copo de nieve de Koch es una curva cerrada continua pero no diferenciable en ningún punto, lo que, en lenguaje actual, diríamos que es una curva fractal: un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas (lo podéis ver de forma gráfica en las fotos que he puesto más abajo J ).

El procedimiento a seguir para construir una es el siguiente:

-Se toma un segmento, se lo divide en tres partes iguales y se reemplaza la parte central por dos partes de igual longitud haciendo un ángulo de 60 grados.

-Luego, con los cuatro segmentos, se procede de la misma manera, lo que da lugar a 16 segmentos más pequeños en la segunda iteración. Y así sucesivamente.

 

¿Sabéis qué tiene además de curioso esta curva? Pues que es una curva continua en todos sus puntos pero no derivable en ninguno, por lo que...¡no podemos trazar tangente a ninguno de sus puntos! Además, tanto su perímetro como su área son infinitos.

Benoit Mandelbrot ,un matemático conocido por sus trabajos sobre los fractales, estuvo acertado al escoger el nombre "fractal" para estas criaturas geométricas, ya que la palabra latina fractus significa "quebrado".

->La siguiente vez que veáis un bonito copo de nieve como estos… ya sabéis a qué se debe su forma y cómo se hacen J

…Adiós a tod@s , ¡hasta la siguiente entrada!

 



             
 

 



Raíces

Si te gustan las curiosidades matemáticas...¡esta te va a encantar!
El símbolo de raíz se empezó a usar en torno al año 1525 y apareció por primera vez en un libro alemán de álgebra.
Anteriormente, para indicar la raíz de un número se escribía “raíz de …”; después, para abreviar, se empezó a poner solamente  “r”. Pero si el número era largo, el trazo horizontal de la “r” se alargaba hasta abarcar todas las cifras.
Así es como surgió el símbolo de la raíz que utilizamos hoy en día, como una “r” mal hecha.

*Christoph Rudolff fue el autor del primer libro alemán de álgebra ( ''Behend und durch die hübsch Rechnung kunstreichen Regeln Algebre'') y la primera persona en utilizar el símbolo con el que representamos actualmente a las raíces (√).